随机信号处理-功率谱

只为了考试！

过程的一些数字特征

均值
- 若功率谱连续则均值为0
自相关函数和互相关函数
- 自相关 \(R_{X}(\tau) = \mathbb{E}[X(t)X(t+\tau)]\)
- 互相关 \(R_{XY}(\tau) = \mathbb{E}[X(t)Y(t+\tau)]\)
自相关系数
- def: \(\rho_X(\tau)=\frac{R_X(\tau)}{R_X(0)},\qquad \rho_X(0)=1\)
方差/协方差
- 方差计算公式: \(Var(X) = R_{X}(0) - m_{X}^2 = E[(X - E(X))^2]\)
- 协方差计算公式: \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\!\left[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\right]\)
- 自协方差和相关函数的关系: \(R_X(\tau) = m_X^2 + C_X(\tau)\)
相关时间
- def: \(\tau_c=\int_{0}^{\infty}\rho_X(\tau)\,d\tau\)
平均功率
- \(P_{\text{avg}}=\mathbb{E}[X^2(t)]=R_X(0)\)
总功率
- \(P_{\text{total}}=P_{\text{DC}}+P_{\text{AC}} = m_X^2 + \big(R_X(0)-m_X^2\big) = m_X^2 + \sigma_X^2\)
直流功率
交流功率

proof(1):

经常用到的公式: 三角形的和差化积

常用性质: 频域时移

def: 对自相关函数/互相关函数做傅立叶变换得到功率谱密度